03 littles law

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.13%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22asimpy%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22polars%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.20.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20random%0A%20%20%20%20import%20statistics%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20polars%20as%20pl%0A%20%20%20%20from%20asimpy%20import%20Environment%2C%20Process%2C%20Resource%0A%0A%20%20%20%20return%20Environment%2C%20Process%2C%20Resource%2C%20alt%2C%20mo%2C%20pl%2C%20random%2C%20statistics%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Little's%20Law%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20*The%20Universal%20Conservation%20Law%20of%20Queues*%0A%0A%20%20%20%20Little's%20Law%20states%20that%20in%20a%20stable%20system%2C%20L%20%3D%20%CE%BBW%2C%20where%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20L%20%3D%20mean%20number%20of%20customers%20in%20the%20system%0A%20%20%20%20-%20%CE%BB%20%3D%20mean%20arrival%20rate%0A%20%20%20%20-%20W%20%3D%20mean%20time%20a%20customer%20spends%20in%20the%20system%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20verifies%20Little's%20Law%20across%20three%20different%20queue%20configurations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Why%20It%20Is%20Surprising%0A%0A%20%20%20%20Little's%20Law%20holds%20without%20any%20assumptions%20about%20the%20distribution%20of%20arrival%20rates%20or%20service%20times.%20It%20does%20not%20matter%20whether%20arrivals%20are%20Poisson%2C%20deterministic%2C%20or%20correlated%2C%20whether%20service%20times%20are%20exponential%2C%20constant%2C%20or%20heavy-tailed%2C%20whether%20there%20is%20one%20server%20or%20a%20hundred%2C%20or%20what%20scheduling%20discipline%20is%20used%20(FIFO%2C%20LIFO%2C%20random%2C%20or%20priority).%20As%20long%20as%20the%20system%20is%20stable%20and%20stationary%2C%20%24L%20%3D%20%5Clambda%20W%24.%20This%20universality%20is%20remarkable%20because%20almost%20every%20other%20formula%20in%20queueing%20theory%20*does*%20depend%20on%20distributional%20assumptions.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Practical%20Use%0A%0A%20%20%20%20Because%20%24L%20%3D%20%5Clambda%20W%24%20is%20universal%2C%20it%20can%20be%20used%20to%20measure%20hard-to-observe%20quantities%20from%20easy-to-observe%20ones.%20For%20example%2C%20the%20mean%20number%20of%20requests%20in%20a%20web%20server%20(%24L%24)%20and%20the%20observed%20request%20rate%20(%24%5Clambda%24)%20immediately%20give%20the%20mean%20response%20time%20(%24W%20%3D%20L%2F%5Clambda%24)%20without%20needing%20to%20instrument%20individual%20request%20latencies.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Proof%20Sketch%0A%0A%20%20%20%20Consider%20a%20flow%20diagram%20where%20time%20runs%20horizontally%20and%20each%20customer%20traces%20a%20horizontal%20line%20from%20arrival%20to%20departure.%20The%20area%20under%20all%20lines%20equals%20both%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Csum_i%20W_i%24%20(sum%20of%20individual%20sojourn%20times)%2C%20and%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cint_0%5ET%20L(t)%5C%2Cdt%24%20(integral%20of%20instantaneous%20queue%20length).%0A%0A%20%20%20%20Dividing%20both%20sides%20by%20%24T%24%20and%20taking%20%24T%20%5Cto%20%5Cinfty%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbar%7BL%7D%20%3D%20%5Clambda%20%5Cbar%7BW%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20argument%20is%20purely%20combinatorial%3A%20no%20probability%20is%20needed.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Three%20Configurations%2C%20One%20Law%0A%0A%20%20%20%20The%20simulation%20verifies%20Little's%20Law%20independently%20for%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Configuration%20%7C%20Arrivals%20%20%20%20%20%7C%20Service%20Kind%20%7C%20Service%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Number%20of%20Servers%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A-------------%7C%3A------------%7C%3A--------------%7C%3A--------%7C---%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20M%2FM%2F1%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Poisson(%24%5Clambda%24)%20%7C%20Random%20%7C%20Exp(%24%5Cmu%24)%20%20%7C%201%20%20%20%20%20%20%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20M%2FD%2F1%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Poisson(%24%5Clambda%24)%20%7C%20Deterministic%20%7C%20%241%2F%5Cmu%24%20%7C%201%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20M%2FM%2F3%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Poisson(%24%5Clambda%24)%20%7C%20Random%20%7C%20Exp(%24%5Cmu%24)%20%20%7C%203%20%20%20%20%20%20%20%7C%0A%0A%20%20%20%20For%20each%20configuration%2C%20%24L%24%20is%20estimated%20two%20independent%20ways%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Direct%20sampling%3A%20a%20monitor%20process%20samples%20the%20number%20of%20customers%20in%20the%20system%20every%20unit%20of%20simulated%20time%3B%20%24L%20%5Capprox%20%5Cbar%7Bn%7D_%7B%5Ctext%7Bsamples%7D%7D%24.%0A%20%20%20%202.%20Little's%20Law%3A%20throughput%20%24%5Clambda%24%20(completed%20jobs%20%2F%20total%20time)%20and%20mean%20sojourn%20%24W%24%20are%20measured%3B%20%24L_%7B%5Ctext%7BLittle%7D%7D%20%3D%20%5Clambda%20W%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20two%20estimates%20agree%20to%20within%20simulation%20noise%20for%20all%20three%20very%20different%20configurations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Random%20Processes%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Process%2C%20random)%3A%0A%20%20%20%20class%20RandomCustomer(Process)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20init(self%2C%20server%2C%20in_system%2C%20sojourn_times)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.server%20%3D%20server%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.in_system%20%3D%20in_system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sojourn_times%20%3D%20sojourn_times%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20async%20def%20run(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrival%20%3D%20self.now%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.in_system%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20async%20with%20self.server%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.timeout(random.expovariate(1.0))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.in_system%5B0%5D%20-%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sojourn_times.append(self.now%20-%20arrival)%0A%0A%20%20%20%20return%20(RandomCustomer%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Process%2C%20RandomCustomer%2C%20random)%3A%0A%20%20%20%20class%20RandomArrivals(Process)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20init(self%2C%20rate%2C%20server%2C%20in_system%2C%20sojourn_times)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.rate%20%3D%20rate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.server%20%3D%20server%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.in_system%20%3D%20in_system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sojourn_times%20%3D%20sojourn_times%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20async%20def%20run(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.timeout(random.expovariate(self.rate))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20RandomCustomer(self._env%2C%20self.server%2C%20self.in_system%2C%20self.sojourn_times)%0A%0A%20%20%20%20return%20(RandomArrivals%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Deterministic%20Processes%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Process)%3A%0A%20%20%20%20class%20DeterministicCustomer(Process)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20init(self%2C%20server%2C%20service_time%2C%20in_system%2C%20sojourn_times)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.server%20%3D%20server%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.service_time%20%3D%20service_time%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.in_system%20%3D%20in_system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sojourn_times%20%3D%20sojourn_times%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20async%20def%20run(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrival%20%3D%20self.now%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.in_system%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20async%20with%20self.server%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.timeout(self.service_time)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.in_system%5B0%5D%20-%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sojourn_times.append(self.now%20-%20arrival)%0A%0A%20%20%20%20return%20(DeterministicCustomer%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(DeterministicCustomer%2C%20Process%2C%20random)%3A%0A%20%20%20%20class%20DeterministicArrivals(Process)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20init(self%2C%20rate%2C%20server%2C%20in_system%2C%20sojourn_times)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.rate%20%3D%20rate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.server%20%3D%20server%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.in_system%20%3D%20in_system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sojourn_times%20%3D%20sojourn_times%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.service_time%20%3D%201.0%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20async%20def%20run(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.timeout(random.expovariate(self.rate))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20DeterministicCustomer(self._env%2C%20self.server%2C%20self.service_time%2C%20self.in_system%2C%20self.sojourn_times)%0A%0A%20%20%20%20return%20(DeterministicArrivals%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Comparison%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sim_time_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D100_000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1_000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20_000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Simulation%20time%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20sample_interval_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Sample%20interval%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20seed_input%20%3D%20mo.ui.number(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D192%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Random%20seed%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20run_button%20%3D%20mo.ui.button(label%3D%22Run%20simulation%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sim_time_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sample_interval_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20seed_input%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20run_button%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20run_button%2C%20sample_interval_slider%2C%20seed_input%2C%20sim_time_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(sample_interval_slider%2C%20sim_time_slider)%3A%0A%20%20%20%20SIM_TIME%20%3D%20int(sim_time_slider.value)%0A%20%20%20%20SAMPLE_INTERVAL%20%3D%20int(sample_interval_slider.value)%0A%20%20%20%20return%20SAMPLE_INTERVAL%2C%20SIM_TIME%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Process%2C%20SAMPLE_INTERVAL)%3A%0A%20%20%20%20class%20Monitor(Process)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20init(self%2C%20in_system%2C%20samples)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.in_system%20%3D%20in_system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.samples%20%3D%20samples%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20async%20def%20run(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.samples.append(self.in_system%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.timeout(SAMPLE_INTERVAL)%0A%0A%20%20%20%20return%20(Monitor%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Monitor%2C%20SIM_TIME%2C%20statistics)%3A%0A%20%20%20%20def%20verify(label%2C%20env%2C%20in_system%2C%20sojourn_times%2C%20samples%2C%20arrival_rate)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Monitor(env%2C%20in_system%2C%20samples)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20env.run(until%3DSIM_TIME)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20L_direct%20%3D%20statistics.mean(samples)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W%20%3D%20statistics.mean(sojourn_times)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20len(sojourn_times)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lam%20%3D%20n%20%2F%20SIM_TIME%0A%20%20%20%20%20%20%20%20L_little%20%3D%20lam%20*%20W%0A%20%20%20%20%20%20%20%20error%20%3D%20100.0%20*%20(L_little%20-%20L_direct)%20%2F%20L_direct%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22label%22%3A%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22lambda_obs%22%3A%20lam%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mean_W%22%3A%20W%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22L_direct%22%3A%20L_direct%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22L_little%22%3A%20L_little%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22error_pct%22%3A%20error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20return%20(verify%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Environment%2C%20Resource%2C%20verify)%3A%0A%20%20%20%20def%20simulate(title%2C%20rows%2C%20arrivalsCls%2C%20lam%2C%20capacity)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20in_system%20%3D%20%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sojourns%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20samples%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20env%20%3D%20Environment()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20server%20%3D%20Resource(env%2C%20capacity%3Dcapacity)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrivalsCls(env%2C%20lam%2C%20server%2C%20in_system%2C%20sojourns)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows.append(verify(title%2C%20env%2C%20in_system%2C%20sojourns%2C%20samples%2C%20lam))%0A%0A%20%20%20%20return%20(simulate%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20DeterministicArrivals%2C%0A%20%20%20%20RandomArrivals%2C%0A%20%20%20%20pl%2C%0A%20%20%20%20random%2C%0A%20%20%20%20run_button%2C%0A%20%20%20%20seed_input%2C%0A%20%20%20%20simulate%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20run_button%0A%0A%20%20%20%20random.seed(int(seed_input.value))%0A%20%20%20%20rows%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20simulate(%22M%2FM%2F1%20(rho%3D0.70%2C%201%20server)%22%2C%20rows%2C%20RandomArrivals%2C%200.7%2C%201)%0A%20%20%20%20simulate(%22M%2FD%2F1%20(rho%3D0.70%2C%20deterministic%20service)%22%2C%20rows%2C%20DeterministicArrivals%2C%200.7%2C%201)%0A%20%20%20%20simulate(%22M%2FM%2F3%20(rho%3D0.80%20per%20server%2C%203%20servers)%22%2C%20rows%2C%20RandomArrivals%2C%202.4%2C%203)%0A%0A%20%20%20%20df%20%3D%20pl.DataFrame(rows)%0A%20%20%20%20return%20(df%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Verification%3A%20L%20%3D%20%CE%BBW%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(df)%3A%0A%20%20%20%20df%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(alt%2C%20df%2C%20pl)%3A%0A%20%20%20%20points%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_point(size%3D100%2C%20filled%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22L_direct%3AQ%22%2C%20title%3D%22L%20(direct%20sample)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22L_little%3AQ%22%2C%20title%3D%22L%20%3D%20%CE%BBW%20(Little's%20Law)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22label%3AN%22%2C%20title%3D%22Configuration%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22label%3AN%22%2C%20%22L_direct%3AQ%22%2C%20%22L_little%3AQ%22%2C%20%22error_pct%3AQ%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20max_val%20%3D%20max(df%5B%22L_direct%22%5D.to_list())%20*%201.1%0A%20%20%20%20diagonal%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(pl.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20%5B0.0%2C%20max_val%5D%2C%20%22y%22%3A%20%5B0.0%2C%20max_val%5D%7D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(color%3D%22gray%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(x%3D%22x%3AQ%22%2C%20y%3D%22y%3AQ%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20(diagonal%20%2B%20points).properties(title%3D%22Little's%20Law%3A%20Direct%20Sample%20vs.%20%CE%BBW%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Understanding%20the%20Math%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20area%20argument%20made%20concrete%0A%0A%20%20%20%20Draw%20a%20horizontal%20time%20axis%20from%20%24t%20%3D%200%24%20to%20%24t%20%3D%20T%24.%20Each%20customer%20gets%20a%20horizontal%20bar%20starting%20at%20their%20arrival%20time%20and%20ending%20at%20their%20departure%20time.%20The%20length%20of%20their%20bar%20is%20exactly%20their%20sojourn%20time%20%24W_i%24%20%E2%80%94%20the%20total%20time%20they%20spend%20in%20the%20system.%20At%20any%20moment%20%24t%24%2C%20the%20number%20of%20bars%20that%20cross%20that%20vertical%20slice%20is%20exactly%20%24L(t)%24%2C%20the%20instantaneous%20number%20of%20customers%20in%20the%20system.%0A%0A%20%20%20%20Now%20compute%20the%20total%20area%20under%20all%20the%20bars%20in%20two%20different%20ways.%20First%2C%20add%20up%20the%20lengths%20of%20all%20the%20bars%3A%20total%20area%20%24%3D%20%5Csum_i%20W_i%24.%20Second%2C%20integrate%20the%20height%20of%20the%20stack%20over%20time%3A%20total%20area%20%24%3D%20%5Cint_0%5ET%20L(t)%5C%2Cdt%24.%20These%20are%20the%20same%20area%2C%20so%20%24%5Csum_i%20W_i%20%3D%20%5Cint_0%5ET%20L(t)%5C%2Cdt%24.%0A%0A%20%20%20%20Divide%20both%20sides%20by%20%24T%24.%20The%20right%20side%20becomes%20the%20time-average%20%24%5Cbar%7BL%7D%24.%20The%20left%20side%20becomes%20%24(n%2FT)%20%5Ccdot%20%5Cbar%7BW%7D%24%2C%20where%20%24n%24%20is%20the%20total%20number%20of%20customers%20and%20%24%5Cbar%7BW%7D%24%20is%20their%20mean%20sojourn%20time.%20As%20%24T%20%5Cto%20%5Cinfty%24%2C%20%24n%2FT%20%5Cto%20%5Clambda%24%20(the%20long-run%20arrival%20rate).%20That%20gives%20%24%5Cbar%7BL%7D%20%3D%20%5Clambda%20%5Cbar%7BW%7D%24%2C%20which%20is%20Little's%20Law.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20No%20distribution%20required%0A%0A%20%20%20%20The%20argument%20above%20uses%20only%20geometry.%20There%20is%20no%20probability%20distribution%2C%20no%20exponential%20assumption%2C%20no%20Poisson%20process.%20The%20shape%20of%20each%20bar%20(i.e.%2C%20how%20long%20each%20customer%20takes)%20can%20be%20anything.%20This%20is%20why%20the%20law%20applies%20to%20M%2FM%2F1%2C%20M%2FD%2F1%2C%20M%2FM%2F3%2C%20and%20every%20other%20configuration%20equally.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Using%20it%20in%20practice%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20you%20run%20a%20web%20service.%20Your%20monitoring%20dashboard%20shows%20%24%5Clambda%20%3D%20500%24%20requests%20per%20second%20and%20your%20server%20logs%20show%20a%20mean%20response%20time%20of%20%24W%20%3D%2020%24%20milliseconds.%20Little's%20Law%20immediately%20tells%20you%20that%20the%20mean%20number%20of%20active%20requests%20in%20the%20system%20is%20%24L%20%3D%20%5Clambda%20W%20%3D%20500%20%5Ctimes%200.02%20%3D%2010%24%20requests.%20Alternatively%2C%20if%20you%20observe%20%24L%24%20and%20%24%5Clambda%24%20but%20not%20individual%20response%20times%2C%20you%20get%20%24W%20%3D%20L%2F%5Clambda%24%20without%20any%20per-request%20timing%20instrumentation.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Units%20check%0A%0A%20%20%20%20%24%5Clambda%24%20has%20units%20of%20customers%20per%20unit%20time%3B%20%24W%24%20has%20units%20of%20time%3B%20so%20%24L%20%3D%20%5Clambda%20W%24%20is%20dimensionless%20%E2%80%94%20a%20pure%20count%20of%20customers.%20Always%20verify%20units%20when%20applying%20Little's%20Law%20to%20a%20new%20problem%3A%20if%20your%20units%20do%20not%20cancel%20correctly%2C%20you%20have%20applied%20the%20law%20incorrectly.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Stability%20condition%0A%0A%20%20%20%20Little's%20Law%20requires%20the%20system%20to%20reach%20steady%20state%3A%20over%20the%20long%20run%2C%20arrivals%20and%20departures%20must%20balance.%20If%20%24%5Clambda%20%3E%20%5Cmu%24%20(the%20arrival%20rate%20exceeds%20the%20service%20rate)%2C%20the%20queue%20grows%20without%20bound.%20%24L%20%3D%20%5Cinfty%24%20and%20%24W%20%3D%20%5Cinfty%24%3B%20the%20law%20still%20holds%2C%20but%20it%20tells%20you%20the%20system%20is%20broken%2C%20not%20that%20it%20is%20well-behaved.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A