08 inspectors paradox

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.13%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22asimpy%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22polars%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.20.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20random%0A%20%20%20%20import%20statistics%0A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20polars%20as%20pl%0A%0A%20%20%20%20from%20asimpy%20import%20Environment%2C%20Process%0A%0A%20%20%20%20return%20Environment%2C%20Process%2C%20alt%2C%20mo%2C%20pl%2C%20random%2C%20statistics%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20The%20Inspector's%20Paradox%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20*Why%20the%20Bus%20Is%20Always%20Late*%0A%0A%20%20%20%20Buses%20arrive%20at%20a%20stop%20with%20some%20average%20headway%20(gap%20between%20buses)%20of%20%24%5Cmu%24%20minutes.%20A%20passenger%20arrives%20at%20a%20uniformly%20random%20time%20and%20waits%20for%20the%20next%20bus.%20How%20long%20do%20they%20wait%3F%20The%20naive%20answer%20is%20%24%5Cmu%20%2F%202%24%3A%20on%20average%20you%20land%20in%20the%20middle%20of%20a%20gap.%20The%20correct%20answer%20is%20almost%20always%20longer%E2%80%94sometimes%20much%20longer.%0A%0A%20%20%20%20The%20expected%20wait%20is%20not%20%24%5Cmu%2F2%24%20but%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E%5B%5Ctext%7Bwait%7D%5D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Csigma%5E2%7D%7B2%5Cmu%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Csigma%5E2%20%3D%20%5Ctext%7BVar%7D%5B%5Ctext%7Bheadway%7D%5D%24.%20The%20second%20term%20is%20always%20non-negative%2C%20so%20higher%20variance%20always%20means%20longer%20expected%20waits%2C%20even%20when%20the%20mean%20headway%20is%20unchanged.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Three%20Bus%20Schedules%20with%20Mean%20Headway%20%24%5Cmu%20%3D%2010%24%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Schedule%20%20%20%20%7C%20%24%5Csigma%5E2%24%20%7C%20Predicted%20wait%20%7C%20Naive%20wait%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-------------%7C-----------%7C----------------%7C-----------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Regular%20%20%20%20%20%7C%200%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%205.0%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%205.0%20%20%20%20%20%20%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Exponential%20%7C%20100%20%20%20%20%20%20%20%7C%2010.0%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%205.0%20%20%20%20%20%20%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Clustered%20%20%20%7C%2064%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%208.2%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%205.0%20%20%20%20%20%20%20%7C%0A%0A%20%20%20%20For%20exponentially%20distributed%20headways%2C%20%24%5Csigma%5E2%20%3D%20%5Cmu%5E2%24%2C%20so%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E%5B%5Ctext%7Bwait%7D%5D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cmu%5E2%7D%7B2%5Cmu%7D%20%3D%20%5Cmu%24%24%0A%0A%20%20%20%20A%20passenger%20waits%20on%20average%20for%20an%20*entire*%20mean%20headway%20%E2%80%94%20twice%20the%20naive%20expectation.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Why%20This%20Happens%3A%20Length-Biased%20Sampling%0A%0A%20%20%20%20A%20passenger%20arriving%20at%20a%20random%20time%20is%20more%20likely%20to%20land%20inside%20a%20*long*%20gap%20than%20a%20short%20one%2C%20because%20long%20gaps%20occupy%20more%20time%20on%20the%20clock.%20This%20is%20called%20*length-biased%20sampling*.%20The%20interval%20containing%20your%20arrival%20is%20not%20a%20random%20headway%3A%20it%20is%20drawn%20from%20the%20length-biased%20distribution%20with%20density%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24f%5E*(h)%20%3D%20%5Cfrac%7Bh%20%5Ccdot%20f(h)%7D%7B%5Cmu%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20mean%20of%20this%20biased%20distribution%20is%20%24%5Cmu%20%2B%20%5Csigma%5E2%2F%5Cmu%24%2C%20and%20you%20arrive%20uniformly%20within%20it%2C%20giving%20expected%20wait%20%24(%5Cmu%20%2B%20%5Csigma%5E2%2F%5Cmu)%2F2%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20same%20phenomenon%20explains%20why%20the%20average%20class%20size%20experienced%20by%20a%20student%20exceeds%20the%20average%20class%20size%20reported%20by%20the%20university%20(large%20classes%20have%20more%20students%20to%20report%20them).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Why%20%22Inspector's%20Paradox%22%3F%0A%0A%20%20%20%20The%20name%20comes%20from%20quality%20control%2C%20where%20an%20inspector%20arrives%20at%20a%20random%20time%20to%20sample%20a%20production%20process%20and%20systematically%20encounters%20longer-than-average%20intervals.%20The%20paradox%20is%20that%20a%20random%20observer%20is%20more%20likely%20to%20land%20inside%20a%20long%20gap%20than%20a%20short%20one%2C%20so%20their%20experienced%20mean%20interval%20exceeds%20the%20true%20mean%20interval.%20It%20feels%20paradoxical%20because%20you'd%20expect%20a%20random%20arrival%20to%20see%20the%20average%20gap%2C%20but%20length-biased%20sampling%20guarantees%20they%20see%20worse-than-average%20gaps%20whenever%20there's%20any%20variance%20at%20all.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Implementation%0A%0A%20%20%20%20A%20%60BusService%60%20process%20generates%20buses%20under%20three%20headway%20distributions%20(regular%2C%20exponential%2C%20clustered%20bimodal)%20and%20records%20their%20arrival%20times.%20After%20the%20simulation%2C%20passenger%20wait%20times%20are%20estimated%20by%20sampling%20%24N%24%20uniformly%20random%20arrival%20times%20and%20finding%20the%20next%20bus%20for%20each%2C%20without%20needing%20explicit%20%60Passenger%60%20processes.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sim_time_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D100_000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1_000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20_000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Simulation%20time%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mean_headway_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D30.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D10.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Mean%20headway%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20seed_input%20%3D%20mo.ui.number(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D192%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Random%20seed%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20run_button%20%3D%20mo.ui.button(label%3D%22Run%20simulation%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sim_time_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mean_headway_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20seed_input%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20run_button%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20mean_headway_slider%2C%20seed_input%2C%20sim_time_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mean_headway_slider%2C%20seed_input%2C%20sim_time_slider)%3A%0A%20%20%20%20SIM_TIME%20%3D%20int(sim_time_slider.value)%0A%20%20%20%20MEAN_HEADWAY%20%3D%20float(mean_headway_slider.value)%0A%20%20%20%20SEED%20%3D%20int(seed_input.value)%0A%20%20%20%20N_PASSENGERS%20%3D%2020_000%0A%20%20%20%20return%20MEAN_HEADWAY%2C%20N_PASSENGERS%2C%20SEED%2C%20SIM_TIME%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(MEAN_HEADWAY%2C%20Process%2C%20random)%3A%0A%20%20%20%20class%20BusService(Process)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20init(self%2C%20mode%2C%20bus_arrivals)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.mode%20%3D%20mode%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.bus_arrivals%20%3D%20bus_arrivals%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20async%20def%20run(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self.mode%20%3D%3D%20%22regular%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20headway%20%3D%20MEAN_HEADWAY%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20self.mode%20%3D%3D%20%22exponential%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20headway%20%3D%20random.expovariate(1.0%20%2F%20MEAN_HEADWAY)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20self.mode%20%3D%3D%20%22clustered%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20headway%20%3D%20MEAN_HEADWAY%20*%200.2%20if%20random.random()%20%3C%200.5%20else%20MEAN_HEADWAY%20*%201.8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22Unknown%20mode%3A%20%7Bself.mode%7D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.timeout(headway)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.bus_arrivals.append(self.now)%0A%0A%20%20%20%20return%20(BusService%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(BusService%2C%20Environment%2C%20SIM_TIME)%3A%0A%20%20%20%20def%20collect_buses(mode)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bus_arrivals%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20env%20%3D%20Environment()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20BusService(env%2C%20mode%2C%20bus_arrivals)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20env.run(until%3DSIM_TIME)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20bus_arrivals%0A%0A%20%20%20%20return%20(collect_buses%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_PASSENGERS%2C%20random%2C%20statistics)%3A%0A%20%20%20%20def%20expected_wait(bus_arrivals%2C%20n%3DN_PASSENGERS)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20max_t%20%3D%20bus_arrivals%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20waits%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t%20%3D%20random.uniform(0.0%2C%20max_t%20*%200.95)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20b%20in%20bus_arrivals%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20b%20%3E%20t%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20waits.append(b%20-%20t)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20statistics.mean(waits)%20if%20waits%20else%200.0%0A%0A%20%20%20%20return%20(expected_wait%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(statistics)%3A%0A%20%20%20%20def%20headway_variance(bus_arrivals)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20headways%20%3D%20%5Bb%20-%20a%20for%20a%2C%20b%20in%20zip(bus_arrivals%2C%20bus_arrivals%5B1%3A%5D)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20statistics.variance(headways)%20if%20len(headways)%20%3E%201%20else%200.0%0A%0A%20%20%20%20return%20(headway_variance%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(MEAN_HEADWAY%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mu%20%3D%20MEAN_HEADWAY%0A%20%20%20%20naive%20%3D%20MEAN_HEADWAY%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20var_exp%20%3D%20mu%20**%202%0A%20%20%20%20var_clustered%20%3D%200.5%20*%20(mu%20*%200.2%20-%20mu)%20**%202%20%2B%200.5%20*%20(mu%20*%201.8%20-%20mu)%20**%202%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Results%0A%0A%20%20%20%20Mean%20headway%3A%20%7BMEAN_HEADWAY%7D%20%E2%86%92%20naive%20expected%20wait%20%3D%20%7Bnaive%3A.1f%7D%0A%0A%20%20%20%20-%20**Exponential**%20(Var%20%E2%89%88%20%7Bvar_exp%3A.1f%7D)%3A%20predicted%20%3D%20%7Bmu%20%2F%202%20%2B%20var_exp%20%2F%20(2%20*%20mu)%3A.1f%7D%20(%3D%20full%20mean%20headway!)%0A%20%20%20%20-%20**Clustered**%20(Var%20%E2%89%88%20%7Bvar_clustered%3A.1f%7D)%3A%20predicted%20%3D%20%7Bmu%20%2F%202%20%2B%20var_clustered%20%2F%20(2%20*%20mu)%3A.1f%7D%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%20(naive%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(MEAN_HEADWAY%2C%20collect_buses%2C%20expected_wait%2C%20headway_variance%2C%20naive%2C%20pl)%3A%0A%20%20%20%20def%20run_models()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20mode%20in%20%5B%22regular%22%2C%20%22exponential%22%2C%20%22clustered%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20buses%20%3D%20collect_buses(mode)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20var_h%20%3D%20headway_variance(buses)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mean_w%20%3D%20expected_wait(buses)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rows.append(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mode%22%3A%20mode%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22var_headway%22%3A%20round(var_h%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mean_wait%22%3A%20round(mean_w%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22predicted%22%3A%20round(MEAN_HEADWAY%20%2F%202.0%20%2B%20var_h%20%2F%20(2.0%20*%20MEAN_HEADWAY)%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ratio%22%3A%20round(mean_w%20%2F%20naive%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20pl.DataFrame(rows)%0A%0A%20%20%20%20return%20(run_models%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(SEED%2C%20random%2C%20run_models)%3A%0A%20%20%20%20random.seed(SEED)%0A%20%20%20%20df%20%3D%20run_models()%0A%20%20%20%20df%0A%20%20%20%20return%20(df%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(alt%2C%20df%2C%20naive%2C%20pl)%3A%0A%20%20%20%20chart%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_bar()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22mode%3AN%22%2C%20title%3D%22Bus%20schedule%20type%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22mean_wait%3AQ%22%2C%20title%3D%22Mean%20passenger%20wait%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22mode%3AN%22%2C%20legend%3DNone)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22mode%3AN%22%2C%20%22mean_wait%3AQ%22%2C%20%22ratio%3AQ%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(title%3D%22Inspector's%20Paradox%3A%20Mean%20Wait%20by%20Schedule%20Type%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20naive_line%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(pl.DataFrame(%7B%22naive%22%3A%20%5Bnaive%5D%7D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_rule(strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(y%3D%22naive%3AQ%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20(chart%20%2B%20naive_line)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Understanding%20the%20Math%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Length-biased%20sampling%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20buses%20run%20on%20an%20irregular%20schedule%20where%20gaps%20between%20buses%20are%20either%202%20minutes%20or%2018%20minutes%2C%20each%20with%20probability%201%2F2.%20The%20mean%20gap%20is%20%24%5Cmu%20%3D%20(2%20%2B%2018)%2F2%20%3D%2010%24%20minutes.%20Now%20ask%3A%20if%20you%20arrive%20at%20a%20completely%20random%20moment%2C%20which%20gap%20are%20you%20most%20likely%20to%20land%20inside%3F%0A%0A%20%20%20%20A%202-minute%20gap%20occupies%20only%202%20minutes%20on%20the%20clock%2C%20but%20an%2018-minute%20gap%20occupies%2018.%20Out%20of%20every%2020%20minutes%20of%20clock%20time%20on%20average%2C%202%20minutes%20belong%20to%20a%20short%20gap%20and%2018%20to%20a%20long%20one.%20So%20a%20random%20arrival%20lands%20in%20a%20short%20gap%20with%20probability%20%242%2F(2%2B18)%20%3D%201%2F10%24%20and%20in%20a%20long%20gap%20with%20probability%20%2418%2F20%20%3D%209%2F10%24.%20The%20expected%20gap%20length%20you%20experience%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E%5B%5Ctext%7Bgap%20experienced%7D%5D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D%20%5Ccdot%202%20%2B%20%5Cfrac%7B9%7D%7B10%7D%20%5Ccdot%2018%20%3D%200.2%20%2B%2016.2%20%3D%2016.4%20%5Ctext%7B%20minutes%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20That%20is%20far%20above%20the%20mean%20gap%20of%2010%20minutes.%20You%20are%20disproportionately%20likely%20to%20land%20inside%20a%20long%20gap%20simply%20because%20it%20takes%20up%20more%20time.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20wait%20formula%0A%0A%20%20%20%20Once%20you%20are%20inside%20a%20gap%2C%20you%20arrive%20uniformly%20within%20it%2C%20so%20on%20average%20you%20land%20in%20the%20middle.%20Your%20expected%20wait%20is%20half%20the%20gap%20length%20you%20experience.%20The%20full%20formula%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E%5B%5Ctext%7Bwait%7D%5D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Csigma%5E2%7D%7B2%5Cmu%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Here%20%24%5Cmu%24%20is%20the%20mean%20gap%20and%20%24%5Csigma%5E2%20%3D%20%5Ctext%7BVar%7D%5B%5Ctext%7Bgap%7D%5D%24%20is%20the%20variance%20of%20gap%20lengths.%20The%20first%20term%2C%20%24%5Cmu%2F2%24%2C%20is%20what%20you%20would%20get%20if%20every%20gap%20were%20exactly%20%24%5Cmu%24%20(deterministic%20buses%20%E2%80%94%20arrive%20in%20the%20middle%20every%20time).%20The%20second%20term%2C%20%24%5Csigma%5E2%2F(2%5Cmu)%24%2C%20is%20the%20extra%20waiting%20from%20length-biased%20sampling.%20It%20is%20always%20non-negative%2C%20so%20irregular%20buses%20always%20make%20you%20wait%20longer%20than%20regular%20buses%20with%20the%20same%20mean%20headway.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20variance%20matters%0A%0A%20%20%20%20The%20variance%20%24%5Csigma%5E2%24%20measures%20how%20spread%20out%20the%20gap%20sizes%20are.%20A%20perfectly%20regular%20bus%20schedule%20has%20%24%5Csigma%5E2%20%3D%200%24%20and%20gives%20the%20naive%20answer%20%24%5Cmu%2F2%24.%20An%20exponentially%20distributed%20schedule%20has%20%24%5Csigma%5E2%20%3D%20%5Cmu%5E2%24%2C%20which%20doubles%20the%20expected%20wait%20to%20%24%5Cmu%24.%20More%20irregular%20buses%2C%20higher%20penalty.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Connecting%20to%20expected%20values%0A%0A%20%20%20%20The%20formula%20arises%20from%20a%20standard%20result%3A%20the%20expected%20length%20of%20the%20gap%20containing%20a%20random%20arrival%20is%20%24%5Cmu%20%2B%20%5Csigma%5E2%2F%5Cmu%24.%20You%20can%20think%20of%20this%20as%20the%20mean%20gap%20plus%20a%20correction%20term%20proportional%20to%20the%20variance%20divided%20by%20the%20mean.%20Dividing%20by%202%20(uniform%20arrival%20within%20the%20gap)%20gives%20the%20wait%20formula%20above.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A