11 tandem queue

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.13%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22asimpy%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22polars%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.20.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20random%0A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20polars%20as%20pl%0A%0A%20%20%20%20from%20asimpy%20import%20Environment%2C%20Process%2C%20Queue%0A%0A%20%20%20%20return%20Environment%2C%20Process%2C%20Queue%2C%20alt%2C%20mo%2C%20pl%2C%20random%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Tandem%20Queue%20Blocking%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20*Variability%20Travels%20Downstream*%0A%0A%20%20%20%20Two%20processing%20stages%20are%20arranged%20in%20series%3A%20Stage%201%20feeds%20work%20into%20a%20bounded%20buffer%2C%20which%20feeds%20Stage%202.%20Both%20stages%20have%20the%20same%20mean%20service%20rate%20%24%5Cmu%24%2C%20and%20the%20arrival%20rate%20%24%5Clambda%20%3C%20%5Cmu%24%20so%20neither%20stage%20is%20overloaded%20on%20average.%20However%2C%20Stage%201%20has%20high%20variance%20(hyperexponential%20service)%3B%20Stage%202%20has%20zero%20variance%20(deterministic%20service).%0A%0A%20%20%20%20Even%20though%20both%20stages%20have%20identical%20mean%20throughput%20and%20the%20system%20is%20underloaded%2C%20Stage%202%20sits%20idle%20for%20a%20substantial%20fraction%20of%20time%20when%20the%20buffer%20between%20them%20is%20small.%20The%20idle%20fraction%20only%20vanishes%20as%20the%20buffer%20size%20%24K%20%5Cto%20%5Cinfty%24.%0A%0A%20%20%20%20High%20service-time%20variance%20at%20Stage%201%20produces%20bursts%20of%20output%E2%80%94many%20jobs%20finish%20close%20together%E2%80%94followed%20by%20droughts.%20With%20a%20small%20buffer%2C%20the%20burst%20overflows%20(blocking%20Stage%201)%20and%20the%20drought%20starves%20Stage%202.%20Both%20effects%20reduce%20system%20throughput%20below%20what%20we%20would%20intuitively%20expect.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Analysis%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20two-stage%20tandem%20queue%20with%20a%20finite%20buffer%20of%20capacity%20%24K%24%2C%20the%20blocking%20probability%20at%20Stage%201%20and%20the%20starvation%20probability%20at%20Stage%202%20depend%20on%20the%20full%20service-time%20distributions%2C%20not%20just%20their%20means.%20The%20Kingman%20approximation%20gives%20the%20mean%20wait%20in%20a%20single%20G%2FG%2F1%20queue%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24W_q%20%5Capprox%20%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B1-%5Crho%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bc_a%5E2%20%2B%20c_s%5E2%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmu%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24c_a%5E2%24%20and%20%24c_s%5E2%24%20are%20the%20squared%20coefficients%20of%20variation%20of%20inter-arrival%20and%20service%20times%20respectively.%20For%20a%20hyperexponential%20service%20distribution%20with%20%24c_s%5E2%20%5Cgg%201%24%2C%20waiting%20times%20are%20far%20higher%20than%20the%20M%2FM%2F1%20formula%20predicts.%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20tandem%20network%2C%20this%20extra%20variability%20propagates%3A%20the%20departure%20process%20of%20Stage%201%20(which%20is%20the%20arrival%20process%20for%20Stage%202)%20has%20higher%20variance%20than%20Poisson%20when%20Stage%201%20has%20high%20service%20variance.%20This%20is%20*Departure%20Process%20Variability%20Propagation*%20and%20is%20a%20key%20driver%20of%20manufacturing%20and%20supply-chain%20%5Bbullwhip%20effects%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FBullwhip_effect).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Buffer%20as%20a%20Variability%20Absorber%0A%0A%20%20%20%20The%20buffer%20acts%20as%20a%20shock%20absorber.%20Each%20unit%20of%20additional%20buffer%20capacity%20%24K%24%20reduces%20the%20starvation%20probability%20at%20Stage%202%20by%20absorbing%20burst%20output%20from%20Stage%201.%20The%20marginal%20benefit%20decreases%20as%20%24K%24%20grows%2C%20leading%20to%20a%20classic%20diminishing-returns%20relationship.%20Practitioners%20use%20this%20to%20size%20work-in-progress%20inventory%20(WIP)%20buffers%20in%20manufacturing%20cells.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Implementation%0A%0A%20%20%20%20-%20A%20%60Source%60%20process%20generates%20jobs%20with%20exponential%20inter-arrival%20times%20into%20an%20unlimited%20input%20queue.%0A%20%20%20%20-%20%60Stage1%60%20pulls%20from%20the%20input%20queue%2C%20applies%20a%20hyperexponential%20service%20delay%2C%20and%20pushes%20to%20a%20bounded%20%60Queue(max_capacity%3DK)%60.%20If%20the%20buffer%20is%20full%2C%20Stage%201%20blocks%20(back-pressure).%0A%20%20%20%20-%20%60Stage2%60%20pulls%20from%20the%20bounded%20buffer%2C%20applies%20deterministic%20service%2C%20and%20records%20completion%20times.%0A%20%20%20%20-%20Stage%202%20idle%20time%20is%20measured%20as%20the%20wait%20inside%20%60queue.get()%60%20(time%20spent%20waiting%20for%20work%20to%20appear).%0A%0A%20%20%20%20The%20simulation%20sweeps%20%24K%24%20from%201%20to%2021%20and%20reports%20Stage%202%20idle%20fraction.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sim_time_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D100_000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1_000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20_000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Simulation%20time%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20arrival_rate_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.95%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Arrival%20rate%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20seed_input%20%3D%20mo.ui.number(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D192%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Random%20seed%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20run_button%20%3D%20mo.ui.button(label%3D%22Run%20simulation%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sim_time_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrival_rate_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20seed_input%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20run_button%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20arrival_rate_slider%2C%20seed_input%2C%20sim_time_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(arrival_rate_slider%2C%20seed_input%2C%20sim_time_slider)%3A%0A%20%20%20%20SIM_TIME%20%3D%20int(sim_time_slider.value)%0A%20%20%20%20ARRIVAL_RATE%20%3D%20float(arrival_rate_slider.value)%0A%20%20%20%20SEED%20%3D%20int(seed_input.value)%0A%20%20%20%20MEAN_SERVICE%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20return%20ARRIVAL_RATE%2C%20MEAN_SERVICE%2C%20SEED%2C%20SIM_TIME%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(MEAN_SERVICE%2C%20random)%3A%0A%20%20%20%20def%20high_variance_service()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20random.random()%20%3C%200.80%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20random.expovariate(5.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20random.expovariate(1.0%20%2F%204.5)%0A%0A%20%20%20%20def%20low_variance_service()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20MEAN_SERVICE%0A%0A%20%20%20%20return%20high_variance_service%2C%20low_variance_service%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ARRIVAL_RATE%2C%20Process%2C%20random)%3A%0A%20%20%20%20class%20Source(Process)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20init(self%2C%20buffer)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.buffer%20%3D%20buffer%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20async%20def%20run(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20jid%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.timeout(random.expovariate(ARRIVAL_RATE))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.buffer.put(jid)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20jid%20%2B%3D%201%0A%0A%20%20%20%20return%20(Source%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Process%2C%20high_variance_service)%3A%0A%20%20%20%20class%20Stage1(Process)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20init(self%2C%20inp%2C%20out%2C%20idle_tally)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.inp%20%3D%20inp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.out%20%3D%20out%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.idle_tally%20%3D%20idle_tally%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20async%20def%20run(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20idle_start%20%3D%20self.now%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20job%20%3D%20await%20self.inp.get()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.idle_tally.append(self.now%20-%20idle_start)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.timeout(high_variance_service())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.out.put(job)%0A%0A%20%20%20%20return%20(Stage1%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Process%2C%20low_variance_service)%3A%0A%20%20%20%20class%20Stage2(Process)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20init(self%2C%20inp%2C%20idle_tally%2C%20completions)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.inp%20%3D%20inp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.idle_tally%20%3D%20idle_tally%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.completions%20%3D%20completions%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20async%20def%20run(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20idle_start%20%3D%20self.now%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.inp.get()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20idle%20%3D%20self.now%20-%20idle_start%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.idle_tally.append(idle)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20await%20self.timeout(low_variance_service())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.completions.append(self.now)%0A%0A%20%20%20%20return%20(Stage2%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Environment%2C%20Queue%2C%20SIM_TIME%2C%20Source%2C%20Stage1%2C%20Stage2)%3A%0A%20%20%20%20def%20simulate(buffer_capacity)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20env%20%3D%20Environment()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20input_q%20%3D%20Queue(env)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20middle_q%20%3D%20Queue(env%2C%20max_capacity%3Dbuffer_capacity)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s2_idle%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20completions%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Source(env%2C%20input_q)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Stage1(env%2C%20input_q%2C%20middle_q%2C%20%5B%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Stage2(env%2C%20middle_q%2C%20s2_idle%2C%20completions)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20env.run(until%3DSIM_TIME)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20len(completions)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20idle_total%20%3D%20sum(s2_idle)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22buffer_capacity%22%3A%20buffer_capacity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22throughput%22%3A%20n%20%2F%20SIM_TIME%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22stage2_idle_frac%22%3A%20idle_total%20%2F%20SIM_TIME%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22n_completed%22%3A%20n%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20return%20(simulate%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(SEED%2C%20pl%2C%20random%2C%20simulate)%3A%0A%20%20%20%20random.seed(SEED)%0A%20%20%20%20df%20%3D%20pl.DataFrame(%5Bsimulate(buffer_capacity%3Dk)%20for%20k%20in%20%5B1%2C%202%2C%203%2C%205%2C%208%2C%2013%2C%2021%5D%5D)%0A%20%20%20%20return%20(df%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(ARRIVAL_RATE%2C%20MEAN_SERVICE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Results%0A%0A%20%20%20%20Arrival%20rate%3A%20%7BARRIVAL_RATE%7D%2C%20mean%20service%20per%20stage%3A%20%7BMEAN_SERVICE%7D%0A%0A%20%20%20%20-%20Stage%201%3A%20hyperexponential%20(high%20variance%3A%2080%25%20short%20mean%3D0.2%2C%2020%25%20long%20mean%3D4.5)%0A%20%20%20%20-%20Stage%202%3A%20deterministic%20(zero%20variance)%0A%0A%20%20%20%20%3E%20As%20buffer%20capacity%20grows%2C%20Stage%202%20idle%20fraction%20falls%20toward%200%25.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(df)%3A%0A%20%20%20%20df%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(alt%2C%20df)%3A%0A%20%20%20%20throughput_line%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(point%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22buffer_capacity%3AQ%22%2C%20title%3D%22Buffer%20capacity%20(K)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22throughput%3AQ%22%2C%20title%3D%22Throughput%20(jobs%2Ftime)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22buffer_capacity%3AQ%22%2C%20%22throughput%3AQ%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(title%3D%22Tandem%20Queue%3A%20Throughput%20vs.%20Buffer%20Capacity%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20idle_line%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(point%3DTrue%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%204%5D%2C%20color%3D%22orange%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22buffer_capacity%3AQ%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22stage2_idle_frac%3AQ%22%2C%20title%3D%22Stage%202%20idle%20fraction%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20(throughput_line%20%2B%20idle_line).resolve_scale(y%3D%22independent%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Understanding%20the%20Math%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Coefficient%20of%20variation%0A%0A%20%20%20%20The%20coefficient%20of%20variation%20(CV)%20of%20a%20random%20variable%20%24X%24%20with%20mean%20%24%5Cmu%24%20and%20standard%20deviation%20%24%5Csigma%24%20is%20defined%20as%20%24c%20%3D%20%5Csigma%20%2F%20%5Cmu%24.%20It%20measures%20spread%20relative%20to%20the%20mean.%20A%20CV%20of%200%20means%20the%20variable%20is%20deterministic%3A%20every%20value%20equals%20%24%5Cmu%24.%20A%20CV%20of%201%20means%20the%20spread%20equals%20the%20mean%20(the%20exponential%20distribution%20has%20CV%20exactly%201).%20A%20CV%20greater%20than%201%20means%20the%20distribution%20is%20bursty%3A%20occasional%20very%20large%20values%20dominate%2C%20even%20if%20most%20values%20are%20small.%20The%20squared%20CV%20%24c%5E2%20%3D%20%5Csigma%5E2%2F%5Cmu%5E2%24%20appears%20frequently%20in%20queueing%20formulas.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20high%20CV%20at%20Stage%201%20creates%20bursts%20and%20droughts%0A%0A%20%20%20%20With%20a%20hyperexponential%20service%20distribution%20(%24c_s%5E2%20%5Cgg%201%24)%2C%20Stage%201%20sometimes%20completes%20several%20jobs%20in%20rapid%20succession%20(a%20burst)%20and%20sometimes%20spends%20a%20very%20long%20time%20on%20a%20single%20job%20(a%20drought).%20During%20a%20burst%2C%20jobs%20pile%20up%20in%20the%20buffer%20between%20stages.%20During%20a%20drought%2C%20Stage%202%20exhausts%20the%20buffer%20and%20has%20to%20wait%20for%20Stage%201%20to%20finish.%20This%20wastes%20capacity%20even%20though%20the%20system%20is%20underloaded%20on%20average.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20buffer%20as%20a%20shock%20absorber%0A%0A%20%20%20%20A%20buffer%20of%20capacity%20%24K%24%20can%20hold%20at%20most%20%24K%24%20jobs%20between%20the%20two%20stages.%20It%20absorbs%20burst%20output%20from%20Stage%201%20and%20releases%20it%20steadily%20to%20Stage%202.%20With%20a%20small%20buffer%2C%20a%20burst%20overflows%20(blocking%20Stage%201)%20or%20a%20drought%20empties%20the%20buffer%20(starving%20Stage%202).%20As%20%24K%24%20grows%2C%20both%20effects%20weaken%20and%20Stage%202%20idle%20time%20falls.%20However%2C%20the%20marginal%20benefit%20of%20each%20extra%20unit%20of%20buffer%20decreases.%20Real%20factories%20choose%20%24K%24%20to%20balance%20the%20cost%20of%20holding%20inventory%20against%20the%20cost%20of%20machine%20starvation.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Kingman's%20approximation%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20single-stage%20queue%20with%20general%20service%20and%20arrival%20distributions%2C%20the%20approximate%20mean%20waiting%20time%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24W_q%20%5Capprox%20%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B1-%5Crho%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bc_a%5E2%20%2B%20c_s%5E2%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmu%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Here%20%24c_a%5E2%24%20is%20the%20squared%20CV%20of%20inter-arrival%20times%20and%20%24c_s%5E2%24%20is%20the%20squared%20CV%20of%20service%20times.%20Notice%20that%20the%20formula%20separates%20the%20utilization%20effect%20(the%20%24%5Crho%2F(1-%5Crho)%24%20term)%20from%20the%20variability%20effect%20(the%20%24(c_a%5E2%20%2B%20c_s%5E2)%2F2%24%20term).%20When%20Stage%201%20has%20%24c_s%5E2%20%5Cgg%201%24%2C%20wait%20time%20is%20far%20higher%20than%20the%20basic%20M%2FM%2F1%20formula%20predicts%2C%20even%20at%20the%20same%20mean%20throughput.%20The%20mean%20alone%20does%20not%20tell%20you%20enough.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Supply-chain%20connection%0A%0A%20%20%20%20In%20manufacturing%2C%20Stage%201%20corresponds%20to%20a%20supplier%20and%20Stage%202%20to%20a%20production%20line.%20High%20variability%20at%20the%20supplier%20forces%20the%20factory%20to%20hold%20large%20work-in-progress%20(WIP)%20buffers%2C%20tying%20up%20capital%20and%20floor%20space.%20The%20%5BToyota%20Production%20System%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FToyota_Production_System)%20explicitly%20targets%20CV%20reduction%20as%20the%20primary%20tool%20for%20shrinking%20necessary%20WIP%20by%20making%20every%20process%20more%20deterministic%20through%20standardized%20work%20and%20small%20batch%20sizes.%20The%20math%20here%20explains%20exactly%20why%3A%20lower%20%24c_s%5E2%24%20directly%20reduces%20%24W_q%24%20and%20the%20required%20buffer%20size%20%24K%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A